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第六章 流数术与无穷级数2（第2页）

她做了一条直线y=1，与抛物线交于一个a点。

这样，抛物线、直线、x轴三条线就围成了一个不规则的几何图形。

艾拉想要计算出这个不规则图形的面积。

她在抛物线上找出一个个点，分别垂直x轴与y轴做出两条线，以此把这个不规则图形分成了一个个矩形。

这些矩形的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。

然而，把这些矩形分的越细，他们的面积就会越接近于那个不规则图形。

艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了N个矩形，那么每个矩形的宽度就是1N。

又因为抛物线的函数式是y=x2，那么第一个矩形的高就是（1N）2，第二个矩形的高度就是（2N）2……

那么，所有矩形的面积之和就是：

S=1N×（1N）2＋1N×（2N）2＋……＋1N×（NN）2

这是一个无穷级数。

然而，戈特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和公式。

在利用这个公式将这个无穷级数化简之后，她得到了一个极为简单的算式：

S=13+1（2N）+1（6N2）

N越大，矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。

那么当N无限大的时候，矩形的面积之和S就会等于那个不规则图形的面积。

此时，1（2n）和1（6n2）就是无限小，完全可以舍去。

于是这个不规则图形的面积就显而易了:S=13。

——无限大、无限小

艾拉把刚刚出现的这两个概念低声念了一遍。

在数学运算中出现了无限的概念，让她多少感到有些不适。

她甩甩头，把这种不适感抛到脑后，然后将函数式由y=x2改成了y=x3

虽然只是轻微的改动，但要求出面积的难度立刻大了数倍。

这次，艾拉写了整整两页纸，也没能向先前一样把公式化简。

“为什么一涉及曲线，就总是会出现无限啊！”

艾拉抛下笔，抱着头哀嚎了起来。

无限，这是所有数学家都难以跨越的深渊。

抛物线和圆都还只是最简单的曲线，只不过是从无限的深渊边探出来的一根小小的树枝。

艾拉抓住了这根小树枝。

可当继续下望时，她看到的是更为恐怖的深渊——利用坐标轴和函数式，她找到了许许多多阿基米德根本无法描述的复杂曲线。

她发现了它们，却根本无法驾驭它们。

这仿佛是神明的一个警告：人啊，做你该做的事！

无限，这是人类绝对不能涉足的禁区。

“毕达哥拉斯学派的魔法也太难学了！”

艾拉又一次大喊了起来。

“小声点！”

亚伯拉罕正教会的人纷纷向艾拉投来了不满的视线，吓得艾拉慌忙捂住了嘴巴。